律所的单位性质主要属于事业单位。但值得注意的是，律师事务所的性质也会因其具体的组织形式和运营方式有所不同。

一、事业单位性质的律所

通常，律师事务所被视为事业单位，尤其是那些国有或挂靠在司法局下的律师事务所。这些律所在组织上受司法行政机关和律师协会的监督和管理，它们的主要任务是提供法律服务，包括接受中外当事人的委托，提供各种法律帮助，并负责具体分配和指导所属律师的业务工作。

二、其他类型的律所

然而，也存在一些从司法局独立出来的律师事务所，这些可以归为私营企业，如个人所或合伙所。这些律所通常自负盈亏，独立核算。特别是合伙律师事务所，它们可以采用普通合伙或者特殊的普通合伙形式设立，合伙人按照合伙形式对该律师事务所的债务依法承担责任。

三、律所的职责与监督

不论律所的性质如何，它们都有一系列的职责，包括监督律师事务所在开展业务活动过程中遵守法律法规的情况，监督律师事务所执业和内部管理制度的建立和实施情况，以及保持法定设立条件等。同时，县级司法行政机关对律师事务所进行日常监督管理，确保其合规运营。

综上所述，律师事务所的单位性质主要属于事业单位，但也会因其具体的组织形式和运营方式而有所不同。